HMOTNOST HVĚZDY

© Rostislav Bičan

Ostrava

1. ÚVOD

Vesmír je po všech stránkách obrovský a nepředstavitelný. Podle odhadů zahrnuje deset na dvacátou druhou hvězd. Vzdálenosti v tomto prostoru představují pro cestování nepřekonatelné překážky. Například cesta na nejbližší cizí hvězdu Proximu Centauri by nám, při v současnosti dostupných rychlostech sondy, trvala třicet dva tisíc let. Je to doba za kterou lidstvo přešlo od neandrtálců do dnešních časů. Zahrnuje asi jeden a půl tisíce pokolení.

Obrovský počet hvězd ve vesmíru vyžaduje jejich klasifikaci podle různých charakteristik a proměnných. Počátkem minulého století rozpracovali pánové Hertzsprung a Russel závislost mezi spektrální třídou a zářivým výkonem, tzv. H - R diagram. Tento diagram třídí hvězdy do několika skupin jako hvězdy hlavní posloupnosti, které se táhnou diagonálně napříč diagramem, se skupinou obrů a veleobrů v horní části. V dolní části diagramu se nachází pod hvězdami hlavní posloupnosti skupina bílých trpaslíků.

Diagramy nám zachycují vztah dvou veličin. Charakteristických veličin pro hvězdu je však celá řada. Základními charakteristikami jsou spektrální třída, povrchová teplota Dp, zářivý výkon L, poloměr hvězdy R, barevný index i(B-V), objemová hustota hvězdy ρ, hmotnost hvězdy M a vzdálenost hvězdy r.

Jednou z nejdůležitějších charakteristik hvězdy je její hmotnost. Hmotnost naší hvězdy Slunce byla změřena přímou metodou. Bylo dokázáno, že hmotnost cizích hvězd nelze určit z případné znalosti dynamických parametrů soustavy. Dosud se relativní hmotnost hvězdy vypočítává podle Eddingtona jako čtvrtá odmocnina z relativního zářivého výkonu hvězdy. Chyby v určování hmotnosti touto metodou jsou až druhého řádu.

Zbývá jediná cesta jak určovat hmotnost hvězdy a to analyticky z dat spektrometrie. Cílem této práce je určit analytickou metodu a vstupní data potřebná pro stanovení hmotnosti zkoumané hvězdy. Dvěma typickými představiteli hvězd hlavní posloupnosti jsou hvězdy Slunce a Vega. Na známých datech o naší hvězdě Slunce odvodím metodiku stanovení hmotnosti pro hvězdy hlavní posloupnosti. Novou metodiku využiji ke stanovení hmotnosti hvězdy Vega.

2. ANALYTICKÉ ODVOZENÍ HMOTNOSTI HVĚZD

Není v našich silách experimentálně změřit hmotnost cizí hvězdy na místě samém. Proto je nutné odvodit přesný vzorec pro analytický výpočet hmotnosti hvězdy a určit vstupní parametry, které musí dodat spektrometrie.

Pro zářivý výkon L hvězdy platí:

...................................L = P2 x S = P2 x 4 x π x R ² ...[ W ] ............................................................( 1 )

kde P2 [ W x m ^-2 ] je hustota vyzářovaného výkonu, S [ m ² ] je povrch hvězdy, R [ m ] je poloměr hvězdy.

Pro hmotnost hvězdy platí:

.................................M(h) = 4 x π x R ³ x ρ / 3 .....[ kg ] ...................................................................( 2 )

kde ρ [ kg x m ^-3 ] je objemová hustota hvězdy.

Z rovnice ( 2 ) vypočítáme:

................................ 4 x π x R ² = 3 x M x R ^-1 x ρ ^-1 ...................................................................( 3 )

Pravou stranu rovnice ( 3 ) dosadíme do rovnice ( 1 ), dostáváme :

.........................L = 3 x P2 x M x R ^-1 x ρ ^-1 .....................................................................................( 4 )

Pro hustotu vyzářovaného výkonu platí Stefan-Boltzmannův zákon:

..........................P2 = σ x Dp ⁴ ........................................................................................................( 5 )

kde σ je Stefanova konstanta, Dp je povrchová termodynamická teplota hvězdy [ K ].

Pro zářivý výkon pak platí:

..........................L = 3 x σ x Dp ⁴ x M x R ^-1 x ρ ^-1 ..........................................................................( 6)

A. Z rovnice ( 6 ) vypočítáme hmotnost hvězdy M(h):

......................M(h) = L x R x ρ x ( 3 x σ x Dp ⁴ ) ^-1 .........................................................................( 7 )

Hmotnost hvězdy hlavní posloupnosti je funkcí čtyř proměnných.

Následuje kontrolní výpočet hmotnosti hvězdy Slunce podle rovnice ( 7 ).

Data o hvězdě Slunce:

- hmotnost Slunce Ms = 1,9884E+30 [ kg ],

- zářivý výkon Ls = 3,8457E+26 [ W ],

-poloměr Slunce Rs = 6,9634E+08 [ m ],

-objemová hustota hmoty ρs = 1,4059E+03 [ kg x m ^-3 ] ,

- povrchová teplota Dps = 5776 [ K ],

- Stefanova konstanta σ = 5,670367E-08 [ kg x s ^-3 x K ^-4 ].

Data dosazená do rovnice ( 7 ) dávají pro hmotnost Slunce hodnotu:

Ms = (3,8457E+26) x (6,9634E+8) x (1,4059E+3) x (( 3 x 5,670367E-8) x 5776 ⁴ ) ^-1 = 1,9884E+30 [ kg ].

Rovnice ( 7 ) přesně určuje hmotnost hvězdy Slunce. Platnost rovnice ( 7 ) je tak potvrzena.

B. Do fyziky zavádím novou fyzikální veličinu luminotu U:

..................... U = L x Dp ^-4 ..[ kg x m ² x s ^-3 x K ^-4 ] .................................................................( 8 )

Dosaďme rovnici o luminotě U do rovnice ( 7 ).

Pro hmotnost hvězdy dostaneme :

..................................M(h) = U x R x ρ x ( 3 x σ ) ^-1 [ kg ]...........................................................( 9 )

Rovnice ( 9 ) je funkcí tří proměnných.

C. Relativními hodnotami veličin budeme rozumět podíl hodnoty fyzikální veličiny pro zkoumanou hvězdu a hodnoty této veličiny pro hvězdu Slunce ( index s ).

Pak bezrozměrná relativní hmotnost hvězdy M(r) je dána součinem faktorů relativní hmotnosti:

................................M(r) = U(r) x R(r) x ρ(r) .....[ - ]....................................................................( 10 )

3. POTŘEBNÁ DATA

Pro stanovení hmotnosti hvězdy podle rovnice ( 7 ) je nutné znát hodnoty proměnných: zářivý výkon hvězdy L, povrchová termodynamická teplota Dp, poloměr hvězdy R a objemovou hustotu hvězdy ρ. Spektrometrie nám poskytuje hodnotu barevného indexu i( B-V ). Takže hodnotu proměnných Dp, R, L a ρ je nutné stanovit analyticky.

Povrchová termodynamická teplota Dp

Povrchovou teplotu hvězdy určíme ze spektroskopického měření barevného indexu i a empirického vzorce pro povrchovou teplotu hvězdy [ 1 ]:

..................................Dp = 8664 x ( i + 0,85 ) ^-1 [ K ] ..................................................................( 11a )

Vzorec dává pro barevný index Slunce i = 0,65 hodnotu povrchové teploty Dps = 5776 K.

Relativní poloměr hvězdy R(r):

Pro poloměr R hvězdy hlavní posloupnosti platí:

………………….R = kp / Dp……..[ m ] ………………………………………………………………...( 11b )

kde kp je konstanta Palmerové, Dp je povrchová teplota hvězdy.

kp = 4,022060E+12 [ m*K ]

Pro vyzařovaný výkon hvězdy platí:

............................L = 4 x π x R ² x σ x Dp ⁴ ........................................................……......................( 12 )

kde σ je Stefanova konstanta.

Pro relativní vyzařovaný výkon platí:

............................ L/Ls = ( R / Rs) ² x ( Dp/Dps ) ⁴ = ( Dp/Dps ) ² ........................................................( 13 )

Relativní objemová hustota hvězdy ρ(r)

Objemovou hustotu naší hvězdy Slunce známe. Je to podíl hmotnosti Slunce a jeho objemu . Má hodnotu ρs = 1,4059E+03 [ kg x m ^-3 ]. Známe tedy objemovou hustotu typické hvězdy hlavní posloupnosti. Z rovnice ( 10 ) vyplývá, že relativní objemová hustota hvězdy hlavní posloupnosti je nepřímo úměrná poloměru hvězdy. Můžu si tedy dovolit odhadnout závislost ρ(r) na R(r) takto:

TAB - GRAF

4. HMOTNOST HVĚZDY VEGA

Úloha: Stanovte hmotnost hvězdy Vega.

5. ZÁVĚR

Katalogy hvězd uvádějí hmotnost hvězdy Vega jako trojnásobek hmotnosti Slunce. Vypočítaná relativní hmotnost hvězdy Vega je dvou desetinový násobek hmotnosti Slunce.

Povrchová teplota a tím i stáří Vegy jsou vyšší než má hvězda Slunce, proto relativní luminota Vegy je menší než jedna [ 1 ]. Hmotnost hvězdy Vega je 4,7 x 10²⁹ kg.

Bičan Rostislav

Copyright © 2022 by Rostislav Bičan. All rights reserved.

Literatura:

[ 1 ] internet: Wikipedie, Vega